9157. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
образует с плоскостью основания угол, равный \arctg\frac{\sqrt{5}}{4}
. Точка M
— середина ребра AC
, точка P
лежит на прямой DM
, причём PQ
— общий перпендикуляр прямых BC
и DM
. Найдите отношения MP:PD
и BQ:QC
.
Ответ. 1:1
; 5:3
.
Решение. Пусть DH
— высота пирамиды, N
— середина ребра AB
, K
— середина BC
, E
— точка пересечения средней линии MN
равностороннего треугольника ABC
с его медианой AK
. Положим AK=6b
.
Точка E
— середина AK
, поэтому
EK=AE=\frac{1}{2}AK=3b,~EH=EK-KH=3b-2b=b,~AH=4b.
Из условия задачи следует, что \tg\angle DAH=\frac{\sqrt{5}}{4}
. Из прямоугольного треугольника AHD
находим, что
DH=AH\tg\angle DAH=4b\cdot\frac{\sqrt{5}}{4}=b\sqrt{5}.
Из точки H
опустим перпендикуляр HF
на DE
. Тогда HF
— высота прямоугольного треугольника DHE
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
EF=\frac{EH^{2}}{DE},~DF=\frac{DH^{2}}{DE},~\frac{EF}{FD}=\frac{\frac{EH^{2}}{DE}}{\frac{DH^{2}}{DE}}=\frac{EH^{2}}{DH^{2}}=\frac{b^{2}}{5b^{2}}=\frac{1}{5}.
Кроме того HF\perp DE
и HF\perp MN
(по теореме о трёх перпендикулярах), поэтому HF
— перпендикуляр к плоскости DMN
. Таким образом HF\perp DM
и HF\perp BC
.
Пусть KL
— перпендикуляр, опущенный из точки K
на DE
. Тогда KL
— также перпендикуляр к плоскости DMN
, поэтому KL\parallel HF
. По теореме о пропорциональных отрезках \frac{EF}{FL}=\frac{EH}{HK}=\frac{1}{2}
, а так как \frac{EF}{FD}=\frac{1}{5}
, то \frac{EL}{LD}=1
, т. е. L
— середина отрезка DE
.
Пусть прямая, проходящая через точку L
параллельно MN
, пересекает отрезок DM
в точке P_{1}
. Тогда перпендикуляр P_{1}Q_{1}
, опущенный из точки P_{1}
на прямую BC
, есть общий перпендикуляр скрещивающихся прямых DM
и BC
(P_{1}Q\parallel KL\parallel HF
, а HF\perp DM
и HF\perp BC
). Из единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых (см. задачу 7423) следует, что точки P_{1}
и Q_{1}
совпадают с указанными в условии точками P
и Q
. Следовательно,
\frac{MP}{PD}=\frac{EL}{LD}=1,~\frac{BQ}{QC}=\frac{BK+KQ}{KC-KQ}=\frac{\frac{1}{2}BC+LP}{\frac{1}{2}BC-LP}=\frac{\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}EM}{\frac{1}{2}BC-\frac{1}{2}EM}=
=\frac{BC+EM}{BC-EM}=\frac{BC+\frac{1}{4}BC}{BC-\frac{1}{4}BC}=\frac{5}{3}.