9171. Дана треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Плоскость \alpha
проходит через прямую BC_{1}
параллельно прямой AB_{1}
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
проходит через середину ребра AC
.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \alpha
, если призма правильная, сторона её основания равна 2\sqrt{3}
, а боковое ребро равно 1.
Ответ. 3.
Решение. а) Пусть O
— центр грани BCC_{1}B_{1}
. Плоскость AB_{1}C
проходит через прямую AB_{1}
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с плоскостью \alpha
общую точку O
. Значит, прямая пересечения этих плоскостей параллельна AB_{1}
(см. задачу 8003), а так как эта прямая проходит через середину O
отрезка B_{1}C
, то она пересекает сторону AC
треугольника AB_{1}C
в её середине.
б) Пусть M
— середина стороны AC
основания ABC
правильной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда BM\perp AC
и BM\perp AA_{1}
, значит, прямая BM
перпендикулярна плоскости AA_{1}C
, а следовательно, BM\perp CM
, т. е. сечение BMC
призмы плоскостью \alpha
— прямоугольный треугольник BMC
. Поскольку
BM=\frac{AC\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=3,
CM=\sqrt{CC_{1}^{2}+CM^{2}}=\sqrt{1+3}=2,
то
S_{\triangle BMC}=\frac{1}{2}BM\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot3\cdot2=3.