9177. Точка G
лежит на боковом ребре SC
правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF
с вершиной S
.
а) Постройте точку пересечения прямой BG
с плоскостью боковой грани ESF
.
б) Найдите угол между прямыми BG
и AD
, если стороны основания пирамиды равны 6, боковые рёбра равны 3\sqrt{13}
, а SG:GC=1:2
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. а) Плоскости BSC
и ESF
проходят через параллельные прямые BC
и EF
, значит, прямая l
пересечения этих плоскостей проходит через точку S
параллельно прямым BC
и EF
(см. задачу 8004). Прямые BG
и l
лежат в плоскости BSC
и не параллельны. Значит, они пересекаются в некоторой точке P
. Эта точка лежит и в плоскости ESF
. Следовательно, P
— точка пересечения прямой BG
с плоскостью ESF
.
б) Поскольку BC\parallel AD
, угол между скрещивающимися прямыми BG
и AD
равен углу между пересекающимися прямыми BG
и BC
, т. е. углу CBG
.
Пусть SH
— высота равнобедренного треугольника BSC
. Тогда
\cos\angle BCS=\frac{CH}{SC}=\frac{3}{3\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}.
По теореме косинусов
BG=\sqrt{BC^{2}+CG^{2}-2BC\cdot CG\cos\angle BCG}=\sqrt{36+4\cdot13-2\cdot6\cdot2\sqrt{13}\cdot\frac{1}{\sqrt{13}}}=8.
Значит,
\cos\angle CBG=\frac{BC^{2}+BG^{2}-CG^{2}}{2BC\cdot BG}=\frac{36+64-52}{2\cdot6\cdot8}=\frac{1}{2}.
Следовательно, \angle CBG=60^{\circ}
.