9181. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
с вершиной S
.
а) Докажите, что плоскость \alpha
, проходящая через ребро AB
и середину ребра SE
, делит ребро SC
в отношении 2:1
, считая от вершины S
.
б) Найдите расстояние от точки S
до плоскости \alpha
, если сторона основания пирамиды равна 2\sqrt{3}
, а угол боковой грани с плоскостью основания пирамиды равен 60^{\circ}
.
Ответ. 3.
Решение. а) Плоскости DSE
и \alpha
проходят через параллельные прямые DE
и AB
, значит, они пересекаются по прямой l
, параллельной DE
(см. задачу 8004) и проходящей через точку M
. Пусть прямая l
пересекает ребро SD
в точке N
. Тогда N
— середина SD
.
Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке P
. Эта точка, как и точка N
, лежит в плоскости CSD
, значит, прямые PN
и SC
лежат в этой плоскости и пересекаются в некоторой точке G
. Поскольку G
— точка пересечения медиан PN
и SC
треугольника DSP
, то SG:GC=2:1
.
б) Пусть SK
и SQ
— медианы треугольников DSE
и ASB
соответственно, а L
— точка пересечения SK
и MN
. Тогда L
— середина SK
. Треугольник KSQ
равносторонний, так как SK=SQ
и по условию задачи \angle SKQ=60^{\circ}
. Значит, SL\perp LQ
. Кроме того, SL\perp MN
, следовательно, SL
— перпендикуляр к плоскости \alpha
, и расстояние от точки S
до этой плоскости равно половине стороны SK
равностороннего треугольника KSQ
, т. е.
SL=\frac{1}{2}SK=\frac{1}{2}KQ=OQ=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=3.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4.4, с. 36