9184. Основание пирамиды ABCD
— равносторонний треугольник ABC
, боковое ребро AD
перпендикулярно плоскости основания, AD:BC=1:\sqrt{2}
. Точки M
и N
— середины рёбер BC
и AB
соответственно.
а) Докажите, что угол между прямыми AM
и DN
равен 60^{\circ}
.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если AB=6\sqrt{2}
.
Ответ. 2.
Решение. а) Пусть K
— середина отрезка BM
, P
— точка пересечения прямых KN
и AC
. Тогда KN
— средняя линия треугольника ABM
, поэтому KN\parallel AM
. Значит,
\angle APN=\angle CAM=30^{\circ},~\angle ANP=\angle ACN-\angle APN=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ},
треугольник NAP
равнобедренный, AP=AN
. Из равенства прямоугольных треугольников DAN
и DAP
следует, что DP=DN
, т. е. треугольник NDP
также равнобедренный.
Положим AD=2a
, BC=2a\sqrt{2}
. Тогда
AP=AN=a\sqrt{2},~PN=AN\sqrt{3}=a\sqrt{6},
DP=DN=\sqrt{AD^{2}+AN^{2}}=\sqrt{4a^{2}+2a^{2}}=a\sqrt{6}.
Значит,треугольник DNP
равносторонний. Следовательно, \angle DNP=60^{\circ}
.
Осталось заметить, что угол между скрещивающимися прямыми AM
и DN
равен углу между прямой DN
и прямой KN
, параллельной AM
, т. е. углу DNP
.
б) Из равенства AB=2a\sqrt{2}=6\sqrt{2}
находим, что a=3
. Поскольку AM\parallel PN
, прямая AM
параллельна плоскости DNP
, поэтому расстояние между прямыми AM
и DN
равно расстоянию от любой точки прямой AM
до плоскости DNP
(см. задачу 7889), например, от точки A
.
Опустим перпендикуляр AH
на высоту AQ
равнобедренного треугольника DNP
. Тогда AH
— перпендикуляр к плоскости DNP
,
AQ=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}a\sqrt{2},~DQ=\sqrt{AD^{2}+AQ^{2}}=\sqrt{4a^{2}+\frac{1}{2}a^{2}}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}.
Следовательно,
AH=\frac{AD\cdot AQ}{DQ}=\frac{2a\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{3a\sqrt{2}}{2}}=\frac{2a}{3}=2.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6.20, с. 58