9190. Основание ABCD
призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— равнобедренная трапеция с основаниями AB
и CD
. Боковые стороны равны меньшему основанию CD
, а их продолжения пересекаются под углом 60^{\circ}
а) Плоскость CA_{1}D_{1}
пересекает ребро AB
в точке M
. Докажите, что прямая D_{1}M
проходит через середину диагонали A_{1}C
.
б) Найдите угол бокового ребра BB_{1}
с плоскостью CA_{1}D_{1}
, если призма прямая, а AA_{1}:AD=\sqrt{3}:2
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. а) Плоскости CA_{1}D_{1}
и ABCD
проходят через параллельные прямые A_{1}D_{1}
и AD
соответственно, значит, прямая l
их пересечения параллельна A_{1}D_{1}
и AD
(см. задачу 8004). Прямая l
пересекает ребро AB
в точке M
, о которой говорится в условии задачи. Четырёхугольник A_{1}D_{1}CM
— параллелограмм, поэтому его диагонали A_{1}C
и D_{1}M
точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, прямая D_{1}M
проходит через середину диагонали A_{1}C
.
б) Поскольку BB_{1}\parallel DD_{1}
, угол прямой BB_{1}
с плоскостью CA_{1}D_{1}
равен углу между этой плоскостью и прямой DD_{1}
.
Четырёхугольник BCDM
— ромб с острым углом 60^{\circ}
. Пусть O
— точка пересечения его диагоналей. Тогда DO\perp CM
. По теореме о трёх перпендикулярах D_{1}O\perp CM
, значит, прямая MC
перпендикулярна плоскости ODD_{1}
. Следовательно, высота DH
прямоугольного треугольника ODD_{1}
— перпендикуляр к плоскости CA_{1}D_{1}
, а искомый угол прямой DD_{1}
с плоскостью CA_{1}D_{1}
— это угол DD_{1}H
.
Положим AD=CD=BC=2a
, DD_{1}=AA_{1}=a\sqrt{3}
. Из равностороннего треугольника CMD
находим, что
DO=\frac{CD\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3},
а так как DD_{1}=a\sqrt{3}
, то прямоугольный треугольник ODD_{1}
— равнобедренный. Следовательно,
\angle DD_{1}H=\angle DD_{1}O=45^{\circ}.