9193. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. Все рёбра пирамиды равны.
а) Докажите, что ортогональная проекция середины ребра AB
на плоскость CSD
делит медиану SN
этой грани в отношении 1:2
, считая от вершины S
.
б) Точка M
— середина ребра BC
. Найдите угол между прямой SM
и плоскостью CSD
.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}
.
Решение. а) Пусть K
— середина ребра AB
, KL
— высота равнобедренного треугольника KSN
, O
— центр квадрата ABCD
.
Первый способ. Прямая CD
перпендикулярна плоскости KSN
, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым KN
и SN
этой плоскости. Тогда прямая KN
перпендикулярна пересекающимся прямым SN
и CD
плоскости CSD
. Значит, KL
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, L
— проекция точки K
на плоскость CSD
.
Обозначим AB=SA=a
. Тогда
SN=\frac{a\sqrt{3}}{2},~\cos\angle KNS=\frac{ON}{SN}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}},
LN=KN\cos\angle KNS=a\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3},~
SL=SN-LN=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
Следовательно,
\frac{SL}{LN}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2}.
Второй способ. Обозначим AB=SA=a
. Поскольку OC=OD=\frac{a\sqrt{2}}{2}
и
OS=\sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2},
боковые рёбра OC
, OD
и OS
треугольной пирамиды OCDS
равны. Значит, её высота проходит через центр описанной окружности основания CSD
(см. задачу 7163), т. е. через центр P
равностороннего треугольника CSD
. Тогда SP=2PN
Пусть KL
— высота равнобедренного треугольника KSN
. Тогда OP
— средняя линия треугольника KLN
, значит, LN=2PN=\frac{2}{3}SN
и KL\parallel OP
. Следовательно, L
— ортогональная проекция точки K
на плоскость CSD
и \frac{SL}{LN}=\frac{1}{2}
.
б) Синус угла \varphi
наклонной SM
с плоскостью CSD
равен отношению расстояния от точки M
до этой плоскости к длине наклонной MS
. Поскольку прямая OM
параллельна плоскости CSD
, расстояние от точки M
до плоскости CSD
равно расстоянию до этой плоскости от точки O
. Следовательно,
\sin\varphi=\frac{OP}{SM}=\frac{ON\sin\angle KNS}{SM}=\frac{\frac{a}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}.