9203. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник ABCDEF
. Высота пирамиды втрое больше стороны основания и проходит через точку E
.
а) Докажите, что угол боковой грани ASB
с плоскостью основания равен 60^{\circ}
.
б) Найдите расстояние от точки C
до плоскости ASB
, если сторона основания пирамиды равна 4.
Ответ. 3.
Решение. а) Поскольку EA
— ортогональная проекция наклонной SA
на плоскость основания, а EA\perp AB
, то по теореме о трёх перпендикулярах SA\perp AB
. Значит, линейный угол двугранного ребра при ребре AB
пирамиды — это угол SAE
.
Пусть AB=a
. В прямоугольном треугольнике SAE
известно, что AE=a\sqrt{3}
и SE=3a
. Значит,
\tg\angle SAE=\frac{SE}{AE}=\frac{3a}{a\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Следовательно, \angle SAE=60^{\circ}
.
б) Пусть H
— точка пересечения диагоналей CF
и AE
правильного шестиугольника ABCDEF
с центром O
. Тогда H
— середина AE
и OH\perp AE
. Значит, OH
— перпендикуляр к плоскости SAE
.
Поскольку CH\parallel AB
, прямая CH
параллельна плоскости ASB
. Значит, расстояние от точки C
до плоскости ASB
равно расстоянию до этой плоскости от точки H
.
Пусть EP
— высота прямоугольного треугольника SAE
, а HQ
— средняя линия треугольника AEP
. Прямая EP
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SA
и AB
плоскости SAB
, поэтому EP
, а значит, и HQ
— перпендикуляр к этой плоскости. Таким образом, расстояние от точки C
до плоскости ASB
равно длине отрезка HQ
, т. е. (см. задачу 1967)
HQ=\frac{1}{2}\cdot\frac{AE\cdot SE}{SA}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}\cdot3a}{2a\sqrt{3}}=\frac{3}{4}a=\frac{3}{4}\cdot4=3.