9204. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA_{1}B{1}C_{1}D_{1}
со стороной основания \sqrt{2}
и боковым ребром 2. Точки M
и N
— середины рёбер A_{1}B_{1}
и CC_{1}
соответственно.
а) Докажите, что MN\perp BC_{1}
.
б) Найдите расстояние от точки M
до плоскости BC_{1}D
.
Ответ. \frac{3}{\sqrt{5}}
.
Решение. а) Прямая MB_{1}
перпендикулярна плоскости BB_{1}C_{1}C
, поэтому B_{1}N
— ортогональная проекция наклонной MN
на эту плоскость. Пусть K
— точка пересечения отрезков BC_{1}
и B_{1}N
. Обозначим \angle NB_{1}C_{1}=\alpha
, \angle BC_{1}C=\beta
. Из прямоугольных треугольников NC_{1}B_{1}
и C_{1}B_{1}B
находим, что
\tg\alpha=\frac{NC_{1}}{C_{1}B_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}~\mbox{и}~\tg\beta=\frac{BC}{CC_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Значит, \beta=\alpha
, и \angle KC_{1}B_{1}=90^{\circ}-\alpha
. Следовательно,
\angle B_{1}KC_{1}=180^{\circ}-\angle KC_{1}B_{1}-\angle NB_{1}C_{1}=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-\alpha=90^{\circ}.
Поскольку B_{1}N\perp BC_{1}
, то по теореме о трёх перпендикулярах MN\perp BC_{1}
.
б) Пусть средняя линия MK
треугольника A_{1}B_{1}D_{1}
пересекает диагональ A_{1}C_{1}
квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в точке P
. Тогда MK\parallel B_{1}D_{1}\parallel BD
и A_{1}P:PC=1:3
. Прямая MK
параллельна плоскости BC_{1}D
, так как она параллельна прямой BD
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002), поэтому расстояние от точки M
до плоскости BC_{1}D
равно расстоянию до этой плоскости от любой точки прямой MK
, в частности, от точки P
.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки P
на высоту C_{1}O
равнобедренного треугольника BC_{1}D
. Прямая PH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым C_{1}O
и BD
плоскости BC_{1}D
, значит, PH
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки P
до плоскости BC_{1}D
равно длине отрезка PH
.
Рассмотрим сечение призмы плоскостью AA_{1}C_{1}C
. Поскольку
AC=AB\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2=CC_{1},
это сечение — квадрат. Обозначим \angle HPC_{1}=\angle CC_{1}O=\beta
. Из прямоугольного треугольника CC_{1}O
находим, что
\cos\beta=\frac{CC_{1}}{OC_{1}}=\frac{CC_{1}}{\sqrt{CC_{1}+CO}}=\frac{2}{\sqrt{4+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
PH=PC_{1}\cos\beta=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}.