9208. Боковые рёбра пирамиды SABC
с вершиной S
попарно перпендикулярны, M
— произвольная точка на ребре BC
.
а) Докажите, что плоскости AMS
и BSC
перпендикулярны.
б) Высота SH
пирамиды равна 12. Прямая AH
пересекает ребро BC
в точке K
. Найдите расстояние от точки K
до прямой AS
, если AS=20
.
Ответ. 15.
Решение. а) Прямая SA
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SB
и SC
плоскости BSC
, значит, прямая SA
перпендикулярна этой плоскости. Плоскость AMS
проходит через прямую SA
, перпендикулярную плоскости BSC
, следовательно, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710).
б) Прямая SA
перпендикулярна плоскости BSC
, поэтому SK\perp SA
. Значит, расстояние от точки K
до прямой SA
равно длине отрезка SK
.
Обозначим \angle SAK=\alpha
. Из прямоугольного треугольника AHS
находим, что \sin\alpha=\frac{3}{5}
. Тогда
\cos\alpha=\frac{4}{5},~\tg\alpha=\frac{3}{4}.
Следовательно,
SK=SA\tg\alpha=20\cdot\frac{3}{4}=15.