9210. Основание пирамиды SABCD
— прямоугольник ABCD
. Высота SH
пирамиды лежит в плоскости CSD
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC
и произвольную точку M
ребра SA
, отличную от S
и A
, — прямоугольная трапеция.
б) Найдите расстояние от вершины S
до этой плоскости, если H
— середина ребра CD
, M
— середина ребра SA
, SC=CD
и SH=2\sqrt{3}
.
Ответ. 2.
Решение. а) Плоскости BCM
и ASD
проходят через параллельные прямые BC
и AD
соответственно, значит, прямая l
их пересечения проходит через точку M
параллельно BC
(см. задачу 8004). Пусть N
— точка пересечения прямой l
с ребром SD
. Поскольку MN\parallel BC
и MN\lt AD=BC
, четырёхугольник BMNC
— трапеция.
Прямая BC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CD
и SH
плоскости CSD
, значит, BC
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, BC\perp CN
, и трапеция BMNC
прямоугольная.
б) Поскольку MN\parallel AD
, по теореме Фалеса N
— середина SD
. Треугольник DCS
равнобедренный, значит, его медиана CN
является высотой. Следовательно, прямая SD
(а значит, и SN
) перпендикулярна двум пересекающимся прямым CN
и BC
плоскости BMC
, поэтому SN
— перпендикуляр к этой плоскости, и расстояние от точки S
до плоскости BNC
равно длине этого перпендикуляра.
Медиана SH
треугольника CSD
является его высотой, значит, SD=SC=CD
, т. е. треугольник CSD
равносторонний. Из прямоугольного треугольника CHD
находим, что
SD=\frac{SH}{\sin60^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4.
Следовательно,
SN=\frac{1}{2}SD=2.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4.6, с. 36