9219. Основание пирамиды ABCD
— прямоугольный треугольник ABC
. Высота пирамиды проходит через середину гипотенузы AB
.
а) Докажите, что боковые рёбра пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания.
б) Известно, что BC:AC=\sqrt{3}:1
, а угол боковой грани BDC
с плоскостью основания равен 60^{\circ}
. Найдите углы двух других боковых граней с плоскостью основания.
Ответ. 90^{\circ}
, 45^{\circ}
.
Решение. а) Пусть DH
— высота пирамиды. Медиана CH
прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому ортогональные проекции HC
, HA
и HB
боковых рёбер на плоскость основания равны. Прямоугольные треугольники DHC
, DHA
и DHB
равны по двум катетам, следовательно, равны углы DCH
, DAH
и DBH
— углы боковых рёбер с плоскостью основания пирамиды.
б) Плоскость ADB
проходит через прямую DH
, перпендикулярную плоскости ABC
, значит, эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, двугранный угол пирамиды при ребре AB
равен 90^{\circ}
.
Пусть M
— середина катета BC
. Тогда HM
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому HM\parallel AC
. Значит, HM\perp BC
, а так как HM
— ортогональная проекция наклонной DM
на плоскость ABC
, то по теореме о трёх перпендикулярах DM\perp BC
. Следовательно, DMH
— линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре BC
. По условию \angle DMH=60^{\circ}
.
Пусть N
— середина катета AC
. Тогда DNH
— линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AC
. Положим AC=a
, BC=a\sqrt{3}
. Тогда
HN=\frac{1}{2}BC=\frac{a\sqrt{3}}{2},~HM=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2},
DH=HM\tg60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Треугольник DHN
прямоугольный и равнобедренный, следовательно, \angle DNH=45^{\circ}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3.8, с. 28