9226. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
.
а) Докажите, что плоскости AB_{1}F
и ACC_{1}
перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми AB_{1}
и CF_{1}
, если AA_{1}=AB\sqrt{2}
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. а) Прямая AF
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC
и CC_{1}
плоскости ACC_{1}
, значит, прямая AF
перпендикулярна этой плоскости. Плоскость AB_{1}F
проходит через прямую AF
, перпендикулярную плоскости ACC_{1}
, следовательно, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710).
б) Пусть AB=a
, CC_{1}=AA_{1}=a\sqrt{2}
, O_{1}
— центр основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, M
— середина ребра CC_{1}
. Тогда MO_{1}
— средняя линия треугольника CC_{1}F
, поэтому MO_{1}\parallel CF_{1}
. Поскольку AF=O_{1}B_{1}
и AF\parallel O_{1}B_{1}
, четырёхугольник AFO_{1}B_{1}
— параллелограмм, поэтому FO_{1}\parallel AB_{1}
.
Угол между скрещивающимися прямыми AB_{1}
и CF_{1}
, равен углу между соответственно параллельными им пересекающимися прямыми FO_{1}
и MO_{1}
, т. е. углу FO_{1}M
.
Из прямоугольных треугольников FCM
, MC_{1}O_{1}
и FF_{1}O_{1}
находим, что
FM=\sqrt{CF^{2}+CM^{2}}=\sqrt{4a^{2}+\frac{a^{2}}{2}}=\frac{3a\sqrt{2}}{2},
O_{1}M=\sqrt{O_{1}C_{1}^{2}+C_{1}M^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2},
O_{1}F=\sqrt{O_{1}F_{1}^{2}+FF_{1}^{2}}=\sqrt{a^{2}+2a^{2}}=a\sqrt{3}.
Тогда по теореме косинусов
\cos\angle FO_{1}M=\frac{O_{1}M^{2}+O_{1}F^{2}-FM^{2}}{2O_{1}M\cdot O_{1}F}=\frac{\frac{3a^{2}}{2}+3a^{2}-\frac{9a^{2}}{2}}{3a^{2}\sqrt{2}}=0.
Следовательно, \angle FO_{1}M=90^{\circ}
.