9233. Основание пирамиды ABCD
— прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AB
. Все боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания.
а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину отрезка AB
.
б) Известно, что AB=18
, AC=6
. Найдите расстояние между прямыми DM
и CH
, где DM
— высота пирамиды ABCD
, CH
— высота треугольника ABC
.
Ответ. 7.
Решение. а) Пусть DM
— высота пирамиды. Тогда MA
, MB
и MC
— ортогональные проекции наклонных DA
, DB
и DC
к плоскости основания пирамиды, поэтому углы боковых рёбер с плоскостью основания — это углы DAM
, DBM
и DCM
.
Прямоугольные треугольники AHD
, BMD
и CMD
равны по катету и противолежащему острому углу. Значит, MA=MB=MC
, т. е. точка M
равноудалена от вершин треугольника ABC
, поэтому M
— центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
, т. е. середина гипотенузы AB
.
б) Прямая DM
перпендикулярна плоскости ABC
, поэтому MH\perp DM
, а так как CH
— высота треугольника ABC
, то MH\perp CH
. Следовательно, MH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых DM
и CH
, и расстояние между этими прямыми равно длине отрезка MH
.
По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла,
AH=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{36}{18}=2
(см. задачу 2728). Следовательно,
MH=AM-AH=9-2=7.