9235. Основание пирамиды SABCD
— квадрат ABCD
. Боковое ребро SA
перпендикулярно плоскости основания, а треугольник BSD
равносторонний.
а) Докажите, что высота пирамиды равна стороне основания.
б) Найдите расстояния между прямыми SC
и BD
, если сторона основания равна 2\sqrt{3}
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. а) Поскольку BD=SB
, прямоугольные треугольники SAB
и BAD
равны по катету (AB
— общий катет) и гипотенузе. Следовательно, SA=AD
.
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
квадрата ABCD
на ребро SC
. Прямая BD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC
и SA
плоскости ASC
, поэтому прямая CD
перпендикулярна этой плоскости. Значит, OH\perp BD
. Следовательно, OH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD
и SC
, и расстояние между этими прямыми равно длине отрезка OH
.
Из прямоугольного треугольника SAC
находим, что
SC=\sqrt{SA^{2}+AC^{2}}=\sqrt{AB^{2}+(AB\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{12+24}=6.
Пусть AP
— высота прямоугольного треугольника ASC
. Тогда (см. задачу 1967)
AP=\frac{AC\cdot SA}{SC}=\frac{AB\sqrt{2}\cdot SA}{SC}=\frac{2\sqrt{6}\cdot2\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{2},
а так как OH
— средняя линия треугольника APC
, то
OH=\frac{1}{2}AP=\sqrt{2}.