9238. Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадрат ABCD
.
а) Докажите, что прямые BD_{1}
и AC
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если стороны основания параллелепипеда равны 3, а боковые рёбра равны 6.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. а) Поскольку D_{1}D
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, диагональ AC
квадрата ABCD
— ортогональная проекция наклонной D_{1}B
на плоскость основания, а так как диагонали квадрата перпендикулярны, то по теореме о трёх перпендикулярах D_{1}B\perp AC
.
б) Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
квадрата ABCD
на диагональ D_{1}B
призмы. Прямая AC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD
и DD_{1}
плоскости BB_{1}D_{1}D
, поэтому прямая AC
перпендикулярна этой плоскости. Значит, OH\perp AC
. Следовательно, OH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых D_{1}B
и AC
, и расстояние между этими прямыми равно длине отрезка OH
.
По теореме Пифагора
D_{1}B=\sqrt{BD^{2}+DD_{1}^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+6^{2}}=3\sqrt{6}.
Пусть DP
— высота прямоугольного треугольника APC
. Тогда (см. задачу 1967)
DP=\frac{BD\cdot DD_{1}}{D_{1}B}=\frac{3\sqrt{2}\cdot6}{3\sqrt{6}}=2\sqrt{3},
а так как OH
— средняя линия треугольника BDP
, то
OH=\frac{1}{2}DP=\sqrt{3}.