9240. Дана правильная треугольная пирамида ABCD
с вершиной D
.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра AB
параллельно прямым AD
и BC
, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна 6\sqrt{3}
, а боковое ребро равно 10.
Ответ. 7,2.
Решение. а) Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр O
равностороннего треугольника ABC
. Ортогональная проекция AO
наклонной AD
к плоскости основания перпендикулярна прямой BC
, значит, по теореме о трёх перпендикулярах AD\perp BC
.
Прямая AD
параллельна секущей плоскости, а плоскость ADB
проходит через эту прямую и имеет с секущей плоскостью общую точку M
— середину ребра AB
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, параллельной AD
(см. задачу 8003). Пусть L
— точка пересечения прямой l
с ребром BD
. По теореме Фалеса L
— середина BD
. Аналогично докажем, что секущая плоскость пересекает рёбра CD
и AC
в их серединах K
и N
соответственно. Таким образом, сечение пирамиды — четырёхугольник KLMN
, противоположные стороны которого попарно параллельны. Следовательно, это параллелограмм, а так как KL\parallel BC
, ML\parallel AD
и AD\perp BC
, то KLMN
— прямоугольник.
б) Пусть P
— середина ребра BC
, Q
— основание перпендикуляра, опущенного из точки P
на прямую AD
. Треугольники BDC
и BAC
равнобедренные, поэтому их медианы DP
и AP
являются высотами. Прямая BC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым DP
и AP
плоскости APD
, значит, прямая BC
перпендикулярна этой плоскости, и PQ\perp BC
. Следовательно, PQ
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BC
и AD
, и расстояние между этими прямыми равно длине отрезка PQ
.
Треугольник ABC
равносторонний, поэтому
AP=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=9,~OA=\frac{2}{3}AP=6.
Из прямоугольного треугольника AOD
находим, что
DO=\sqrt{DA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{100-36}=8.
Записав площадь треугольника ADP
двумя способами, получим равенство \frac{1}{2}AP\cdot DO=\frac{1}{2}AD\cdot PQ
, откуда находим, что
PQ=\frac{AP\cdot DO}{AD}=\frac{9\cdot8}{10}=7{,}2.