9243. Высота PC
треугольной пирамиды PABC
с вершиной P
проходит через точку C
. Прямые PA
и BC
перпендикулярны.
а) Докажите, что основание пирамиды — прямоугольный треугольник.
б) Найдите углы боковых рёбер PA
и PB
с плоскостью основания, если AC=6
, BC=8
, а расстояние от точки P
до прямой AB
равно 5.
Ответ. \arctg\frac{7}{30}
, \arctg\frac{7}{40}
.
Решение. а) Прямая PA
перпендикулярна плоскости ABC
, значит, CA
— ортогональная проекция наклонной PA
на эту плоскость, а так как PA\perp BC
, то по теореме о трёх перпендикулярах CA\perp BC
. Следовательно, ABC
— прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C
.
б) По теореме Пифагора
AB=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{64+36}=10.
Пусть PH
— высота треугольника APB
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, значит,
CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{6\cdot8}{10}=\frac{24}{5}
(см. задачу 1967).
Поскольку расстояние от вершины P
до прямой AB
равно длине отрезка PH=5
, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PCH
находим, что
PC=\sqrt{PH^{2}-CH^{2}}=\sqrt{5^{2}-\left(\frac{24}{5}\right)^{2}}=\frac{7}{5}.
Поскольку CA
и CB
— ортогональные проекции наклонных соответственно PA
и PB
на плоскость основания, CAP
и CBP
— углы рёбер PA
и PB
с этой плоскостью. Из прямоугольных треугольников ACP
и ABP
находим, что
\tg\angle CAP=\frac{PC}{CA}=\frac{\frac{7}{5}}{6}=\frac{7}{30},~\tg\angle CBP=\frac{PC}{CB}=\frac{\frac{7}{5}}{8}=\frac{7}{40}.