9245. Дана треугольная пирамида SABC
; O
— точка пересечения медиан основания ABC
.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через прямую AB
и середину M
ребра SC
, делит отрезок SO
в отношении 3:1
, считая от вершины S
.
б) Найдите угол между прямой BC
и плоскостью ABM
, если пирамида правильная, а угол между прямой, проходящей через точку M
и середину ребра AB
, и прямой SO
равен 45^{\circ}
.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{6}}{4}
.
Решение. а) Пусть N
— середина ребра AB
, K
—точка пересечения прямых SO
и MN
, лежащих в плоскости CSN
. Тогда K
— точка пересечения плоскости ABM
с отрезком SO
.
Пусть прямая, проходящая через точку O
параллельно MN
, пересекает отрезок SC
в точке Q
. По теореме Фалеса
\frac{MQ}{QC}=\frac{NO}{OC}=\frac{1}{2},~
Следовательно,
\frac{SK}{KC}=\frac{SM}{MQ}=\frac{CM}{MQ}=3.
б) Синус угла \alpha
прямой BC
с плоскостью ABM
равен отношению расстояния d
от точки C
до этой плоскости к длине наклонной CB
. Поскольку CN=3ON
, расстояние от точки C
до плоскости ABM
в три раза больше расстояния до этой плоскости от точки O
(см. задачу 9180).
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на высоту MN
равнобедренного треугольника ABM
. Тогда OH
— перпендикуляр к этой плоскости, поэтому расстояние от точки O
до плоскости ABM
равно длине отрезка OH
.
Пусть ON=b
. По условию задачи \angle OKN=45^{\circ}
, поэтому
OK=ON=b,~OH=\frac{OK}{\sqrt{2}}=\frac{b}{\sqrt{2}}.
Тогда
d=3OH=\frac{3b}{\sqrt{2}}.
Из прямоугольного треугольника BNO
находим, что
BN=ON\ctg\angle BON=ON\ctg30^{\circ}=b\sqrt{3}.
значит,
BC=AB=2BN=2b\sqrt{3}.
Следовательно,
\sin\alpha=\frac{d}{BC}=\frac{\frac{3b}{\sqrt{2}}}{2b\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.