9255. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=4
и BC=6
. Длины боковых рёбер пирамиды SA=3
, SB=5
, SD=3\sqrt{5}
.
а) Докажите, что SA
— высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A
до плоскости SBC
.
Ответ. \frac{12}{5}
.
Решение. а) Треугольник SAB
прямоугольный с гипотенузой SB
и прямым углом SAB
, так как
SB^{2}=25=9+16=SA^{2}+AB^{2}.
Аналогично, из равенства
SD^{2}=45=9+36=SA^{2}+AD^{2}
получаем, что \angle SAD=90^{\circ}
. Поскольку прямая SA
перпендикулярна пересекающимся прямым AB
и AD
плоскости ABD
, прямая SA
перпендикулярна этой плоскости.
б) Прямая CB
перпендикулярна пересекающимся прямым SA
и AB
плоскости ASB
, значит, CB
— перпендикуляр к этой плоскости, а высота AH
прямоугольного треугольника SAB
перпендикулярна пересекающимся прямым SB
и CB
плоскости SBC
. Значит, AH
— перпендикуляр к этой плоскости. Тогда расстояние от вершины A
до плоскости SBC
равно длине этой высоты, т. е.
AH=\frac{AB\cdot SA}{SB}=\frac{4\cdot3}{5}=\frac{12}{5}
(см. задачу 1967).