9258. Сторона основания и высота правильной треугольной пирамиды равны a
. Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через апофему пирамиды.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{39}}{28}
.
Решение. Пусть H
— центр основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
, M
— середина ребра AB
, причём DH=AB=a
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофему DM
и точку X
прямой BC
. Площадь треугольника XDM
принимает наименьшее значение, если наименьшее значение принимает его высота XP
. В этом случае XP
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых DM
и BC
, а длина отрезка XP
равна расстоянию между этими прямыми.
Пусть N
— середина ребра AC
. Поскольку MN\parallel BC
, прямая BC
параллельна плоскости MDN
, значит, расстояние между прямыми DM
и BC
равно расстоянию от любой точки прямой BC
до плоскости MDN
(см. задачу 7889), например, от середины K
ребра BC
.
Пусть L
— точка пересечения AK
и MN
. Тогда L
— общая середина отрезков AK
и MN
, а DL
— высота равнобедренного треугольника MDN
. Опустим перпендикуляр KF
из точки K
на DL
. Тогда DL
— перпендикуляр к плоскости MDN
, поэтому расстояние между прямыми DM
и BC
равно длине отрезка KF
.
Обозначим \angle DLK=\alpha
. Тогда
LH=LK-KH=\frac{1}{2}AK-\frac{1}{3}AK=\frac{1}{6}AK=\frac{1}{6}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{12},
\tg\alpha=\frac{DH}{LH}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{12}}=4\sqrt{3},
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+48}}=\frac{1}{7},~\sin\alpha=\tg\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{7}.
Значит,
KF=KL\sin\alpha=\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{7}=\frac{3}{7}a.
Следовательно, XP=KF=\frac{3}{7}a
, а так как
DM=\sqrt{DH^{2}+HM^{2}}=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{12}}=\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}},
то
S_{\triangle XDM}=\frac{1}{2}DM\cdot XP=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{7}a=\frac{a^{2}\sqrt{39}}{28}.
Осталось заметить, что точка X
лежит на ребре BC
, а не на его продолжении. Действительно, пусть прямая, проходящая через точку F
параллельно MN
, пересекает отрезок DM
в точке Q
. Тогда
KX=FQ\lt ML=\frac{1}{2}KB\lt KB,
а это означает, что точка X
лежит между точками B
и C
, т. е. треугольник DXM
— сечение пирамиды.
Аналогично для случая, когда точка X
лежит на AC
.