9281. Дан правильный тетраэдр ABCD
, M
— середина ребра AD
, O
— центр грани ABC
. Найдите угол между прямыми BM
и DO
.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Пусть рёбра тетраэдра равны a
, H
— середина отрезка OA
. Тогда MH
— средняя линия прямоугольного треугольника AOD
, поэтому MH\parallel DO
и
MH=\frac{1}{2}DO=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}},
а так как DO
— перпендикуляр к плоскости ABC
, то MH
— также перпендикуляр к этой плоскости.
Угол между скрещивающимися прямыми BM
и DO
равен углу между пересекающимися прямыми BM
и MH
, т. е. острому углу BMH
прямоугольного треугольника BMH
. Значит,
\cos\angle BMH=\frac{MH}{BM}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}
(см.. задачу 7040). Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{\sqrt{2}}{3}
.