9283. Сторона основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
равна \sqrt{15}
. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
. Найдите расстояние от середины ребра AB
до плоскости ACD
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр основания пирамиды, M
— середина ребра AB
. Тогда
CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{15}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2},~OC=\frac{2}{3}CM=\sqrt{5},~OM=\frac{1}{3}CM=\frac{\sqrt{5}}{2},
а так как \angle OCD=45^{\circ}
, то
DO=OC=\sqrt{5},~DM=\sqrt{OM^{2}+DO^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}+5}=\frac{5}{2}.
Пусть K
— середина ребра AC
, E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки B
на DK
. Тогда BE\perp DK
и BE\perp AC
, значит, BE
— перпендикуляр к плоскости ACD
. Из треугольника BDK
находим, что
BE=\frac{BK\cdot DO}{DK}=\frac{CM\cdot DO}{DM}=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot\sqrt{5}}{\frac{5}{2}}=3.
Точка M
— середина наклонной BA
к плоскости ACD
, поэтому расстояние d
от точки M
до плоскости ACD
вдвое меньше расстояния от точки B
до этой плоскости. Следовательно (см. задачу 9180),
d=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}.