9285. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равны 14
. Найдите расстояние от середины ребра A_{1}C_{1}
до плоскости ABC_{1}
.
Ответ. \sqrt{21}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра A_{1}C_{1}
. Поскольку M
— середина наклонной A_{1}C_{1}
к плоскости ABC_{1}
, расстояние от точки M
до плоскости ABC_{1}
вдвое меньше расстояния от A_{1}
до этой плоскости (см. задачу 9180).
Пусть K
— середина A_{1}B_{1}
. Прямая A_{1}B_{1}
параллельна плоскости ABC_{1}
, так как она параллельна прямой AB
, лежащей в этой плоскости. Значит, расстояние от точки A_{1}
до плоскости ABC_{1}
равно расстоянию от точки K
до этой плоскости.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки K
на медиану C_{1}N
равнобедренного треугольника ABC_{1}
. Тогда прямая KH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым C_{1}N
и AB
плоскости ABC_{1}
. Расстояние от точки K
(а, значит, и от точки A_{1}
) до этой плоскости равно длине отрезка KH
.
Из прямоугольного треугольника KC_{1}N
находим, что
NC_{1}=\sqrt{C_{1}K^{2}+KN^{2}}=\sqrt{(7\sqrt{3})^{2}+14^{2}}=7\sqrt{7},
KH=\frac{C_{1}K\cdot KN}{NC_{1}}=\frac{7\sqrt{3}\cdot14}{7\sqrt{7}}=2\sqrt{21}.
Следовательно, искомое расстояние равно \sqrt{21}
.