9286. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна 4. Плоскость, проходящая через ребро AC
и середину ребра A_{1}B_{1}
, образует угол 60^{\circ}
с плоскостью ABC
. Найдите расстояние от точки B
до этой плоскости.
Ответ. 3.
Решение. Пусть M
— середина ребра A_{1}B_{1}
. Поскольку плоскости ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
параллельны, плоскость, проходящая через прямую AC
и точку M
, пересекает плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
по прямой, проходящей через точку M
параллельно AC
(см. задачу 8009), т. е. по средней линии MP
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Пусть N
и K
— середины рёбер A_{1}C_{1}
и AC
соответственно, L
— точка пересечения MP
и B_{1}N
. Тогда L
— середина B_{1}N
, KL
— высота равнобедренной трапеции AMPC
, а BKL
— линейный угол двугранного угла с гранями ABC
и AMPC
. По условию \angle BKL=60^{\circ}
, значит, равнобедренный треугольник BKL
— равносторонний.
Пусть BH
— высота этого треугольника. Тогда BH\perp KL
и BH\perp AC
, значит, BH
— перпендикуляр к плоскости AMPC
. Следовательно, расстояние от точки B
до этой плоскости равно длине отрезка BH
, т. е.
BH=\frac{BK\sqrt{3}}{2}=\frac{AC\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3.