9290. Дана треугольная пирамида ABCD
с вершиной D
. Все боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол, равный \arcsin\frac{1}{3}
, а основание — треугольник со сторонами AC=BC=25
и AB=14
. Найдите расстояние между прямой AB
и высотой DH
пирамиды, а также расстояние между прямыми AB
и CD
.
Ответ. \frac{401}{24}
; 8
.
Решение. Пусть M
— середина ребра AB
. Тогда CM
и DM
— высоты равнобедренных треугольников ACB
и ADB
. Из прямоугольного треугольника AMC
находим, что
CM=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24,~
Поскольку боковые рёбра образуют равные углы с плоскостью основания, основание H
высоты DH
пирамиды — центр окружности, описанной около треугольника ABC
(см. задачу 7163). Обозначим \angle CAB=\alpha
, R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
\sin\alpha=\frac{CM}{AC}=\frac{24}{25},~\tg\alpha=\frac{CM}{AM}=\frac{24}{7},
CH=R=\frac{BC}{2\sin\alpha}=\frac{14}{2\cdot\frac{24}{25}}=\frac{175}{24}.
Поскольку \tg\alpha=\frac{24}{7}\gt1
, угол при основании AB
равнобедренного треугольника ABC
больше 45^{\circ}
. Значит, этот треугольник остроугольный, и поэтому точка H
лежит внутри треугольника, а так как треугольник равнобедренный, точка H
лежит на его высоте CM
. Следовательно,
MH=CM-CH=24-\frac{175}{24}=\frac{401}{24}.
При этом MH\perp AB
и MH\perp DH
, т. е. MH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и DH
, значит, расстояние между этими прямыми равно длине отрезка MH
, т. е. \frac{401}{24}
.
Прямая AB
перпендикулярна пересекающимся прямым DM
и CM
плоскости CMD
, значит, прямая AB
перпендикулярна высоте MP
треугольника CMD
. Следовательно, отрезок MP
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
Обозначим \angle DCH=\beta
. По условию задачи \sin\beta=\frac{1}{3}
. Из прямоугольного треугольника CMP
находим, что
MP=CM\sin\beta=24\cdot\frac{1}{3}=8.