9291. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 6, 8, 10. Площади боковых граней соответственно равны 54, 72, 90. Найдите высоту пирамиды.
Ответ.
8\sqrt{5}
;
12\sqrt{2}
;
2\sqrt{77}
;
6\sqrt{5}
.
Указание. Если высоты боковых граней треугольной пирамиды, проведённые из вершины, равны, то высота пирамиды проходит либо через центр вписанной окружности, либо через центр одной из вневписанных окружностей треугольника основания.
Решение. Пусть
ABCD
— треугольная пирамида с вершиной
D
, причём
AC=6,~BC=8,~AB=10,~S_{\triangle ADC}=54,~S_{\triangle BDC}=72,~S_{\triangle ADB}=90.

Тогда треугольник
ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине
C
.
Если
DK
,
DL
и
DM
— высоты треугольников
ADC
,
BDC
и
ADC
соответственно, то
DK=\frac{2S_{\triangle ADC}}{AC}=\frac{2\cdot54}{6}=18,

DL=\frac{2S_{\triangle BDC}}{BC}=\frac{2\cdot72}{8}=18,

DM=\frac{2S_{\triangle ADB}}{BC}=\frac{2\cdot90}{10}=18.

Пусть
O
— основание высоты пирамиды
ABCD
, проведённой из вершины
D
. По теореме о трёх перпендикулярах
OK\perp AC
,
OL\perp BC
и
OM\perp AB
. Из равенства наклонных
DK
,
DL
и
DM
следует равенство их ортогональных проекций
OK
,
OL
и
OM
. Значит, точка
O
равноудалена от прямых
AC
,
BC
и
AB
. Следовательно (см. задачу 7167),
O
— либо центр вписанной окружности (рис. 1), либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника
ABC
(рис. 2).
Пусть
r
— радиус вписанной окружности треугольника
ABC
, а
r_{b}
,
r_{a}
и
r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон
AC
,
BC
и
AB
соответственно,
p
— полупериметр треугольника
ABC
. Тогда
p=\frac{6+8+10}{2}=12,~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=24,~r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{24}{12}=2,

r_{b}=p-BC=12-8=4,~r_{a}=p-AC=12-6=6,~r_{c}=p=12.

(см. задачу 1994). Из прямоугольного треугольника
DOK
находим, что в первом случае
DO=\sqrt{DK^{2}-OK^{2}}=\sqrt{DK^{2}-r^{2}}=\sqrt{324-4}=\sqrt{320}=8\sqrt{5},

во втором —
DO=\sqrt{DK^{2}-OK^{2}}=\sqrt{DK-r^{b}}=\sqrt{324-16}=4\sqrt{77},

в третьем —
DO=\sqrt{DL^{2}-OL^{2}}=\sqrt{DL^{2}-r^{a}}=\sqrt{324-36}=12\sqrt{2},

в четвёртом —
DO=\sqrt{DM^{2}-OM^{2}}=\sqrt{DM^{2}-r^{c}}=\sqrt{324-144}=6\sqrt{5}.