9293. Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Докажите, что тетраэдр ABCD
ортоцентрический тогда и только тогда, когда одна из его высот проходит через ортоцентр основания.
Решение. Достаточность. Пусть P
— ортоцентр грани ABC
тетраэдра ABCD
, DP
— высота тетраэдра, а AM
— высота грани ABC
. По теореме о трёх перпендикулярах DM\perp BC
.
Опустим перпендикуляр AQ
на из вершины A
на прямую DM
. Прямая BC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM
и DP
плоскости ADM
, поэтому прямая BC
перпендикулярна этой плоскости. Значит, BC\perp AQ
. Тогда прямая AQ
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC
и DM
плоскости BCD
, поэтому AQ
— перпендикуляр к этой плоскости, т. е. AQ
— высота тетраэдра ABCD
.
Прямые DP
и AQ
лежат в одной плоскости и не параллельны, значит, они пересекаются, т. е. высота тетраэдра, проведённая из вершины A
, пересекает высоту DP
. Аналогично для двух остальных высот тетраэдра. Следовательно, все четыре высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (см. задачу 8018).
Необходимость. Пусть высоты тетраэдра пересекаются в точке H
, а AH_{A}
и DH_{D}
— две из них. Пусть K
— точка пересечения плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые AH_{A}
и DH_{D}
, с прямой BC
. Прямая BC
перпендикулярна этой плоскости, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым AH_{A}
и DH_{D}
этой плоскости, поэтому, AK\perp BC
, т. е. AK
— высота грани ABC
. Следовательно, точка H_{D}
лежит на высоте треугольника ABC
, проведённой из вершины A
. Аналогично для высоты этого треугольника, проведённой из вершины B
. Следовательно, высота DH_{D}
тетраэдра проходит через ортоцентр грани ABC
.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена и В.Н.Дубровского: «Из геометрии тетраэдра», Квант, 1988, N9, с.66.