9297. Сторона основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
равна 8\sqrt{3}
, боковое ребро равно 10. Найдите расстояние между прямой BC
и прямой, проходящей через середины рёбер AB
и CD
.
Ответ. \frac{18}{5}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
, K
и L
— середины рёбер AC
и BC
соответственно, DH
— высота пирамиды. Из равностороннего треугольника ABC
и прямоугольного треугольника ADH
находим, что
AL=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=12,
DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{AD^{2}-\left(\frac{2}{3}AL\right)^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6.
Поскольку MK\parallel BC
, прямая BC
параллельна плоскости MNK
, значит, расстояние между скрещивающимися прямыми BC
и MN
равно расстоянию от любой точки прямой BC
до этой плоскости (см. задачу 7889), например от середины L
ребра BC
.
Плоскость MNK
пересекает ребро BD
в его середине E
, так как NE\parallel BC
. Медианы AL
и DL
треугольников ABC
и BCD
пересекают средние линии MK
и EN
этих треугольников в точках P
и Q
соответственно. Значит, PQ
— средняя линия треугольника ADL
.
Пусть LF
— высота треугольника ADL
, а T
— точка пересечения LF
и PQ
. Тогда LT
— перпендикуляр к плоскости MNK
(так как LT\perp PQ
и LT\perp MK
), и расстояние между прямыми BC
и MN
равно длине отрезка LT
, т. е. половине LF
. Из треугольника ADL
находим, что
LF=\frac{AL\cdot DH}{AD}=\frac{12\cdot6}{10}=\frac{36}{5}.
Следовательно, искомое расстояние равно \frac{18}{5}
.