9305. Точки M
и N
— середины рёбер AD
и CD
треугольной пирамиды ABCD
.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей MBN
и ABC
.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MBN
, если ABC
— равносторонний треугольник со стороной 4\sqrt{2}
, а высота DH
пирамиды равна 3\sqrt{2}
и проходит через середину ребра BC
.
Ответ. 6.
Решение. а) Поскольку MN
— средняя линия треугольника ADC
, прямая MN
параллельна прямой AC
. Плоскости MBN
и ABC
проходят через параллельные прямые MN
и AC
соответственно, значит, прямая их пересечения параллельна AC
(см. задачу 8004). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку B
параллельно прямой AC
.
б) Пусть K
— середина отрезка CH
. Тогда NK
— средняя линия прямоугольного треугольника DCH
, NK\parallel DH
, а так как DH
— перпендикуляр к плоскости ABC
, то NK
— также перпендикуляр к этой плоскости.
Опустим перпендикуляр KL
из точки C
на прямую l
. По теореме о трёх перпендикулярах NL\perp BL
, поэтому NL\perp MN
. Значит, отрезок NL
параллелен и равен высоте BP
треугольника MBN
.
Поскольку \angle LBK=60^{\circ}
, из прямоугольного треугольника KLB
находим, что
KL=BK\sin60^{\circ}=\frac{3}{4}BC\sin60^{\circ}=\frac{3}{4}\cdot4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}.
Тогда
BP=NL=\sqrt{NK^{2}+KL^{2}}=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=3\sqrt{2}.
Следовательно,
S_{\triangle MBN}=\frac{1}{2}MN\cdot BP=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6.