9307. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно CD
и CC_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
,
а) Докажите, что плоскость AMN
проходит через вершину B_{1}
.
б) Найдите угол между плоскостями AMN
и A_{1}B_{1}C_{1}
, если параллелепипед прямоугольный, а его диагональ BD_{1}
перпендикулярна плоскости AMN
.
Ответ. \arctg\frac{\sqrt{6}}{2}
.
Решение. а) Плоскость AMN
пересекает параллельные плоскости CC_{1}D_{1}D
и AA_{1}B_{1}B
по параллельным прямым (см. задачу 8009), значит, прямая l
пересечения плоскостей AMN
и AA_{1}B_{1}C
проходит через точку A
параллельно прямой MN
, а так как MN
— средняя линия треугольника CDC_{1}
, то MN\parallel DC_{1}\parallel AB_{1}
. Значит, прямая l
совпадает с прямой AB_{1}
. Следовательно, плоскость AMN
проходит через вершину B_{1}
.
б) Прямая BD_{1}
перпендикулярна плоскости AMN
, значит, она перпендикулярна прямым MN
и AM
, лежащим в этой плоскости. Поскольку параллелепипед прямоугольный, его ребро BC
перпендикулярно плоскости CC_{1}D_{1}D
, поэтому CD_{1}
— ортогональная проекция наклонной BD_{1}
н эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах CD_{1}\perp MN
, а так как DC_{1}\parallel MN
, то CD_{1}\perp DC_{1}
. Диагонали прямоугольника CC_{1}D_{1}D
перпендикулярны, следовательно, это квадрат. Обозначим AB=CD=CC_{1}=DD_{1}=a
, BC=AD=b
.
Диагональ BD
прямоугольника ABCD
— ортогональная проекция наклонной BD_{1}
на эту плоскость. Поскольку BD_{1}\perp AM
, по теореме о трёх перпендикулярах BD\perp AM
. Пусть отрезки AM
и BD
пересекаются в точке E
. Тогда AE
— высота прямоугольного треугольника BAD
, проведённая из вершины прямого угла, значит, \angle ABD=\angle DAE=\angle DAM
. Прямоугольные треугольники BAD
и ADM
подобны, поэтому \frac{AD}{AB}=\frac{DM}{AD}
, или \frac{b}{a}=\frac{a}{2b}
, откуда находим, что b=\frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Прямая BB_{1}
перпендикулярна плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, а прямая BD_{1}
— плоскости AMN
, значит, угол между эти плоскостями равен углу между прямыми DD_{1}
и BD_{1}
, т. е. углу BD_{1}D
. По теореме Пифагора
BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+a^{2}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}.
Следовательно,
\tg\angle BD_{1}D=\frac{BD}{DD_{1}}=\frac{a\sqrt{\frac{3}{2}}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}.