9312. Точка O
— центр грани ABCD
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
а) Докажите, что отрезок D_{1}O
делится пополам плоскостью A_{1}DC_{1}
.
б) Найдите угол между прямой D_{1}O
и плоскостью A_{1}DC_{1}
, если параллелепипед прямоугольный, ABCD
— квадрат, а AA_{1}:AB=\sqrt{3}:\sqrt{2}
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. а) Пусть O_{1}
— точка пересечения диагоналей грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Поскольку O_{1}
и D
— общие точки плоскостей A_{1}DC_{1}
и BB_{1}D_{1}D
, эти плоскости пересекаются по прямой DO_{1}
. Пусть прямые D_{1}O
и DO_{1}
, лежащие в плоскости BB_{1}D_{1}D
, пересекаются в точке M
. Тогда M
— точка пересечения прямой D_{1}O
с плоскостью A_{1}DC_{1}
.
Из равенства треугольников OMD
и D_{1}MO_{1}
следует, что M
— середина отрезка D_{1}O
.
б) Пусть D_{1}H
— высота прямоугольного треугольника DD_{1}O_{1}
. Прямая D_{1}H
перпендикулярна двум пересекающимся прямым DO_{1}
и A_{1}C_{1}
плоскости A_{1}DC_{1}
, значит, D_{1}H
— перпендикуляр к этой плоскости. Угол прямой D_{1}O
с плоскостью A_{1}DC_{1}
— это угол между наклонной D_{1}M
и этой плоскостью, т. е. угол D_{1}MH
.
Из прямоугольного треугольника DD_{1}O_{1}
находим, что
\tg\angle DO_{1}D_{1}=\frac{DD_{1}}{D_{1}O_{1}}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3}.
Значит, \angle DO_{1}D_{1}=60^{\circ}
, а так как D_{1}M
— медиана этого треугольника, проведённая из вершины прямого угла, то (см. задачу 1109)
\angle D_{1}MH=\angle D_{1}MO_{1}=\angle DO_{1}D_{1}=60^{\circ}.