9313. Основания шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильные шестиугольники. Точка K
— середина ребра CC_{1}
.
а) Докажите, что плоскость ED_{1}K
делит ребро BC
в отношении 2:1
, считая от точки B
.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ED_{1}K
, если призма правильная, сторона её основания равна 2\sqrt{21}
, а высота равна 6.
Ответ. 35\sqrt{6}
.
Решение. а) Пусть T
— точка пересечения прямых CD
и D_{1}K
, лежащих в плоскости CC_{1}D_{1}D
, а L
— точка пересечения прямых TE
и BC
, лежащих в плоскости ABCDEF
. Тогда L
— точка пересечения прямой BC
с плоскостью ED_{1}K
.
Из равенства треугольников CKT
и C_{1}KD_{1}
следует, что CT=C_{1}D_{1}=\frac{1}{2}BE
. Поскольку CT\parallel BE
, треугольник BLE
подобен треугольнику CLT
, значит, BL:CL=BE:CT=2:1
.
б) Сечение призмы плоскостью ED_{1}K
— четырёхугольник ELKD_{1}
. Поскольку призма правильная, ортогональная проекция сечения на плоскость основания — четырёхугольник ELCD
. Обозначим AB=a
. Правильный шестиугольник ABCDEF
разбивается диагоналями AD
, BE
и CF
на шесть равных равносторонних треугольников. Пусть площадь каждого из них равна S
. Тогда
S_{BCDE}=3S,~S_{\triangle BCE}=2S,~S_{\triangle BLE}=\frac{2}{3}S_{\triangle BCE}=\frac{4}{3}S,
значит,
S_{ELCD}=S_{BCDE}-S_{\triangle BLE}=3S-\frac{4}{3}S=\frac{5}{3}S=\frac{5}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{5}{12}\cdot84\sqrt{3}=35\sqrt{3}.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки D
на EL
. По теореме о трёх перпендикулярах D_{1}H\perp EL
, значит, DHD_{1}
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.
Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки E
на прямую CD
. Тогда
EP=\frac{a\sqrt{3}}{2},~DP=\frac{a}{2},~TP=DT+DP=\frac{5a}{2}.
Обозначим \angle ETP=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{EP}{TP}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{5a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{5},~\cos\alpha=\frac{5}{2\sqrt{7}},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.
Значит,
DH=DT\sin\alpha=2a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=4\sqrt{21}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=6.
Катеты прямоугольного треугольника DHD_{1}
равны, значит, \angle DHD_{1}=45^{\circ}
. Следовательно (см. задачу 8093),
S_{ELKD_{1}}=\frac{S_{ELCD}}{\cos45^{\circ}}=35\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=35\sqrt{6}.