9317. Основание пирамиды SABCD
— трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ASB
и CSD
.
б) Найдите угол между плоскостями ASD
и BSC
, если высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, AD=3BC
, а двугранный угол при ребре AD
пирамиды равен 30^{\circ}
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. а) Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке T
. Тогда T
и S
— общие точки плоскостей ASB
и CSD
. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ST
.
б) Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O
, а высота трапеции, проходящая через точку O
, пересекает основания AD
и BC
в точках M
и N
соответственно. Треугольник AOD
подобен треугольнику COB
с коэффициентом \frac{AD}{BC}=3
, треугольник AOM
подобен треугольнику CON
с тем же коэффициентом. Значит, \frac{OM}{ON}=3
. Положим ON=t
, OM=3t
.
По теореме о трёх перпендикулярах SM\perp AD
, значит, SMO
— линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AD
, \angle SMO=30^{\circ}
. Плоскости ASD
и BSC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
, значит, они пересекаются по прямой l
, проходящей через вершину S
параллельно AD
и BC
(см. задачу 8004). Тогда SM\perp l
и SN\perp l
. Следовательно, линейный угол искомого двугранного угла — это угол MSN
.
Рассмотрим сечение MSN
. Отрезок SO
— высота треугольника MSN
, \angle SMO=30^{\circ}
, поэтому
SO=OM\tg30^{\circ}=3t\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=t\sqrt{3},~\tg\angle SNO=\frac{SO}{ON}=\frac{t\sqrt{3}}{t}=\sqrt{3}.
Значит, \angle SNO=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle MSN=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}.