9319. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и CD
треугольной пирамиды ABCD
, O
— точка пересечения медиан грани ABC
.
а) Докажите, что прямая DO
проходит через середину отрезка MN
.
б) Найдите угол между прямыми MN
и BC
, если ABCD
— правильный тетраэдр.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. а) Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины, поэтому MO=\frac{1}{2}OC
. Пусть P
— середина отрезка OC
. Тогда NP
— средняя линия треугольника COD
, поэтому NP\parallel DO
.
Пусть K
— точка пересечения отрезков DO
и MN
. Поскольку MO=\frac{1}{2}OC=OP
и OK\parallel NP
, отрезок OK
— средняя линия треугольника MNP
. Следовательно, K
— середина MN
.
б) Пусть L
— середина ребра AC
, поэтому LM
— средняя линия треугольника ABC
. Значит, BC\parallel LM
. Аналогично LN\parallel AD
. При этом
LM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=LN.
Угол между скрещивающимися прямыми MN
и BC
равен углу между пересекающимися прямыми MN
и ML
, т. е. углу LMN
при основании MN
равнобедренного треугольника LMN
.
Противоположные рёбра правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны (см. задачу 7000), поэтому AD\perp BC
. Значит, параллельные им прямые LN
и LM
также перпендикулярны. Равнобедренный треугольник LMN
— прямоугольный, следовательно, \angle LMN=45^{\circ}
.