9326. Высота SH
правильной треугольной пирамиды относится к высоте основания ABC
как 4:9
. Плоскость \alpha
проходит через ребро AB
и делит пополам двугранный угол пирамиды при этом ребре.
а) Докажите, что плоскость \alpha
делит высоту пирамиды в отношении 3:5
, считая от точки H
.
б) Найдите объём меньшей из частей, на которые пирамида разбивается плоскостью \alpha
, если сторона основания пирамиды равна 6.
Ответ. \frac{30}{7}
.
Решение. а) Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и SC
соответственно, E
— точка пересечения плоскости \alpha
с высотой пирамиды. Поскольку SM\perp AB
и SM\perp AB
, линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AB
— это угол CMS
, а так как ANB
— биссекторная плоскость этого двугранного угла, то MN
— биссектриса угла CMS
, а ME
— биссектриса прямоугольного треугольника SMH
.
Положим SH=4b
, CM=9b
. Тогда
MH=\frac{1}{3}CM=3b,~SM=\sqrt{SH^{2}+MH^{2}}=\sqrt{16b^{2}+9b^{2}}=5b.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{HE}{ES}=\frac{HM}{SM}=\frac{3b}{5b}=\frac{3}{5}.
б) По свойству биссектрисы треугольника также получаем, что
\frac{SN}{NC}=\frac{SM}{MC}=\frac{5b}{9b}=\frac{5}{9}.
Пусть P
— ортогональная проекция точки N
на плоскость основания пирамиды. Тогда точка P
лежит на отрезке CH
, NP\parallel SH
и NP=\frac{9}{14}SH
. Значит, если объём пирамиды SABC
равен V
, то объём пирамиды NABC
равен \frac{9}{14}V
. Тогда объём пирамиды SABN
равен \frac{5}{14}V
.
Пусть AB=a
. Тогда MC=\frac{a\sqrt{3}}{2}=9b
, откуда находим, что b=\frac{a\sqrt{3}}{18}
. Значит,
SH=4b=\frac{2a\sqrt{3}}{9},~V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{2a\sqrt{3}}{9}=\frac{a^{3}}{18}=\frac{6^{3}}{18}=12.
Следовательно, искомый объём меньшей части пирамиды равен
V_{SABN}=\frac{5}{14}V=\frac{5}{14}\cdot12=\frac{30}{7}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.15, с. 74