9328. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Через середины рёбер SC
и AB
проведена плоскость \alpha
, параллельная диагонали BD
основания.
а) Докажите, что эта плоскость делит ребро SB
в отношении 3:1
, считая от вершины пирамиды.
б) В каком отношении плоскость \alpha
делит объём пирамиды?
Ответ. 1:1
.
Решение. а) Пусть M
и N
— середины рёбер SC
и AB
соответственно. Плоскость ABCD
проходит через прямую BD
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с ней общую точку N
, значит, прямая пересечения этих плоскостей параллельна BD
(см. задачу 8003). Пусть эта прямая пересекается с прямой BC
в точке Q
, прямые BC
и MQ
, лежащие в плоскости \alpha
, пересекаются в точке E
. Тогда E
— точка пересечения плоскости \alpha
с ребром SB
.
Пусть L
— точка пересечения прямых QN
и AD
. Тогда L
— середина ребра AD
. Из равенства треугольников BNQ
и ANL
получаем, что BQ=AL=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC
.
Пусть прямая, проведённая через точку B
параллельно MQ
, пересекает ребро SC
в точке K
. По теореме о пропорциональных отрезках MK:KC=QB:BC=1:2
, а так как M
— середина SC
, то
\frac{SE}{BE}=\frac{SM}{MK}=\frac{SM}{\frac{1}{3}MC}=\frac{SM}{\frac{1}{3}SM}=\frac{3SM}{SM}=3.
б) Пусть P
— точка пересечения прямых QL
и CD
, F
— точка пересечения прямых PM
и SD
. Тогда сечение пирамиды плоскостью \alpha
— пятиугольник MENLF
, причём SF:FD=SE:BE=3:1
.
Пусть площадь основания пирамиды SABCD
равна s
, высота пирамиды равна h
, объём равен V
. Тогда
S_{\triangle DLP}=S_{\triangle BNQ}=S_{\triangle ANL}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{s}{2}=\frac{s}{8},
S_{\triangle PCQ}=S_{ABCD}-S_{\triangle ANL}+S_{\triangle DLP}+S_{\triangle BNQ}=s-\frac{s}{8}+\frac{s}{8}+\frac{s}{8}=\frac{9s}{8},
а так как M
— середина бокового ребра SC
, точки F
и E
делят боковые рёбра в отношении SF:FD=SE:BE=3:1
, то высота треугольной пирамиды MPCQ
, проведённая из вершины M
, равна \frac{h}{2}
, а высоты треугольных пирамид FDLP
и EBNQ
, проведённые из вершин F
и E
соответственно, равны \frac{h}{4}
. Значит,
V_{MPCQ}-V_{FDLP}-V_{EBNQ}=V_{MPCQ}-2V_{EBNQ}=
=\frac{1}{3}S_{\triangle PCQ}\cdot\frac{h}{2}-2\cdot\frac{1}{3}S_{BNQ}\cdot\frac{h}{4}=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{8}s\cdot\frac{h}{2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{s}{8}\cdot\frac{h}{4}=
=\left(\frac{9}{16}-\frac{1}{16}\right)\cdot\frac{1}{3}sh=\frac{1}{2}V.
Следовательно, искомое отношение равно 1.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.13, с. 73