9329. Плоскость \alpha
проходит через вершину D
и центры граней AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
а) Докажите, что эта плоскость делит ребро BB_{1}
в отношении 2:1
, считая от вершины B
.
б) Найдите объёмы многогранников, на которые плоскость \alpha
разбивает параллелепипед, если его объём V
.
Ответ. \frac{1}{3}V
, \frac{2}{3}V
.
Решение. а) Пусть E
и F
— центры граней AA_{1}B_{1}B
и BB_{1}C_{1}C
соответственно. Тогда EF
— средняя линия треугольника AB_{1}C
, поэтому EF\parallel AC
. Значит, прямая EF
параллельна плоскости ABCD
. Плоскость \alpha
проходит через прямую прямую EF
, параллельную плоскости ABCD
, и имеет с этой плоскостью общую точку D
. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку D
параллельно AC
(см. задачу 8003).
Пусть K
— точка пересечения прямых l
и BC
. Тогда ADKC
— параллелограмм, поэтому CK=AD=BC
.
Пусть P
и Q
— точки пересечения прямой KF
с рёбрами CC_{1}
и BB_{1}
соответственно. Тогда Q
— точка пересечения ребра BB_{1}
с плоскостью \alpha
. Поскольку C
— середина отрезка BK
и CP\parallel BB_{1}
, отрезок CP
— средняя линия треугольника KBQ
. Значит, CP=\frac{1}{2}BQ
.
Из равенства треугольников B_{1}FQ
и CFP
следует, что QB_{1}=CP=\frac{1}{2}BQ
. Значит, BQ:QB_{1}=2:1
.
б) Пусть L
— точка пересечения прямых l
и AB
, а N
— точка пересечения прямых LQ
и AA_{1}
. Тогда сечение пирамиды плоскостью \alpha
— параллелограмм DPQN
, причём AN:NA_{1}=CP:PC_{1}=B_{1}Q:QB=1:2
.
Пусть площадь основания ABCD
равна s
, высота параллелепипеда пирамиды равна h
, объём равен V
. Тогда
S_{\triangle ADL}=S_{\triangle CKD}=S_{\triangle DAC}=\frac{s}{2},
S_{\triangle BKL}=S_{ABCD}+2S_{\triangle ADL}=2s,
а так как NA:AA_{1}=PC:CC_{1}=1:3
и QB:BB_{1}=2:3
, то высоты треугольных пирамид NADL
, PCKD
и QKBL
, проведённые из вершин N
, P
и Q
соответственно, равны \frac{h}{3}
, \frac{h}{3}
и \frac{2h}{3}
. Значит,
V_{QKBL}-V_{NADL}-V_{PCKD}=V_{QKBL}-2V_{NADL}=
=\frac{1}{3}S_{\triangle BKL}\cdot\frac{2h}{3}-2\cdot\frac{1}{3}S_{ADL}\cdot\frac{h}{3}=
=\frac{1}{3}\cdot2s\cdot\frac{2h}{3}-\frac{2}{3}\cdot\frac{s}{2}\cdot\frac{h}{3}=\left(\frac{4}{9}-\frac{1}{9}\right)\cdot sh=\frac{1}{3}V.
Следовательно, объёмы многогранников, на которые плоскость \alpha
разбивает параллелепипед, равны \frac{1}{3}V
и \frac{2}{3}V
.
Примечание. Плоскость, проходящая через точку Q
параллельно плоскости основания параллелепипеда, разбивает его на два параллелепипеда с объёмами \frac{V}{3}
и \frac{2V}{3}
. Больший из них разбивается плоскостью \alpha
на две равновеликие части. Следовательно, плоскость \alpha
разбивает исходный параллелепипед на части с объёмами \frac{V}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2V}{3}=\frac{2V}{3}
и \frac{V}{3}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.12, с. 73