9331. Точка P
лежит на ребре AD
правильного тетраэдра ABCD
, причём AP:PD=1:2
. Плоскость, проходящая через точку P
перпендикулярно ребру CD
, пересекает это ребро в точке M
, а ребро BD
— в точке Q
.
а) Докажите, что плоскость PMQ
делит высоту пирамиды пополам.
б) Найдите объём треугольной пирамиды QABC
, если объём пирамиды DPMQ
равен v
.
Ответ. \frac{9}{4}v
.
Решение. а) Прямая CD
перпендикулярна плоскости PMQ
, значит, CD\perp PM
и CD\perp QM
. Пусть E
— середина CD
. Тогда AE
— высота равностороннего треугольника ACD
, поэтому PM\parallel AE
, а так как DP=\frac{2}{3}AD
, то
DM=\frac{2}{3}DE=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}CD.
Из прямоугольного треугольника DMQ
находим, что
DQ=2DM=2\cdot\frac{1}{3}CD=\frac{2}{3}BD,
а так как DQ:DB=DP:DA
, то PQ\parallel AB
.
Пусть O
— центр грани ABC
, N
— середина ребра AB
, K
— точка пересечения отрезков DN
и PQ
. Тогда DK:KN=DP:PA=2:1
, а точка L
пересечения прямых MK
и DO
, лежащих в плоскости CDN
, — точка пересечения плоскости PMQ
с высотой DO
тетраэдра.
Поскольку NO:OC=NK:ND=1:2
, прямые OK
и CD
параллельны, причём OK=\frac{1}{3}CD=DE
. Значит, MDKO
— параллелограмм. Следовательно, L
— середина его диагонали DO
.
б) Поскольку BQ:BD=\frac{1}{3}
, объём пирамиды QABC
в три раза меньше объёма тетраэдра ABCD
, а так как
v=V_{DPMQ}=\frac{DP}{DA}\cdot\frac{DQ}{DB}\cdot\frac{DM}{DC}\cdot V_{ABCD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot V_{ABCD}=\frac{4}{27}V_{ABCD}
(см. задачу 7244), то V_{ABCD}=\frac{27}{4}v
. Следовательно,
V_{QABC}=\frac{1}{3}V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{4}v=\frac{9}{4}v.