9332. Точка M
— середина ребра BD
правильного тетраэдра ABCD
. Плоскость, проходящая через точку M
перпендикулярно ребру AD
, пересекает это ребро в точке K
, а ребро CD
— в точке N
.
а) Докажите, что N
— середина ребра CD
.
б) Найдите объём тетраэдра ABCD
, если объём пирамиды DKMN
равен v
.
Ответ. 16v
.
Решение. а) Прямая AD
перпендикулярна плоскости KMN
, значит, AD\perp MK
и AD\perp KN
. Пусть E
— середина AD
. Тогда BE
— высота равностороннего треугольника ABD
, поэтому MK\parallel BE
, а так как DE=\frac{1}{2}AD
, то
DK=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}AD.
Из прямоугольного треугольника DKN
находим, что
DN=2DK=2\cdot\frac{1}{4}AD=\frac{1}{2}CD,
т. е. N
— середина CD
.
б) Из равенства
v=V_{DKMN}=\frac{DK}{DA}\cdot\frac{DM}{DB}\cdot\frac{DN}{DC}\cdot V_{ABCD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot V_{ABCD}=\frac{1}{16}V_{ABCD}
(см. задачу 7244) находим, что V_{ABCD}=16v
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.9, с. 73