9336. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно CC_{1}
и B_{1}C_{1}
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основаниями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
.
а) Докажите, что плоскость BA_{1}M
делит отрезок AN
в отношении 4:3
, считая от точки A
.
б) В каком отношении плоскость BA_{1}M
делит объём призмы?
Ответ. 1:1
.
Решение. а) Пусть K
— середина ребра BC
, L
— точка пересечения прямых BM
и KN
, P
— точка пересечения прямых A_{1}L
и AN
, лежащих в плоскости AA_{1}NK
. Тогда P
— точка пересечения прямой AN
с плоскостью BA_{1}M
.
Через точку K
проведём прямую, параллельную BM
. Пусть E
— точка пересечения этой прямой с ребром CC_{1}
. По теореме Фалеса E
— середина CM
, значит,
\frac{KL}{KN}=\frac{EM}{CC_{1}}=\frac{\frac{1}{2}CM}{CC_{1}}=\frac{\frac{1}{4}CC_{1}}{CC_{1}}=\frac{1}{4},
Тогда \frac{KN}{LN}=\frac{4}{3}
.
Треугольник APA_{1}
подобен треугольнику NPL
, следовательно,
\frac{A_{1}P}{PN}=\frac{AA_{1}}{NL}=\frac{KN}{NL}=\frac{4}{3}.
б) Пусть s
— площадь боковой грани BB_{1}C_{1}C
, h
— расстояние от прямой AA_{1}
до плоскости BB_{1}C_{1}C
, V
— объём призмы. Тогда V=\frac{1}{2}sh
(см. задачу 7237). Площадь основания BB_{1}C_{1}M
четырёхугольной пирамиды A_{1}BB_{1}C_{1}M
равна \frac{3}{4}s
, высота пирамиды равна h
, значит,
V_{A_{1}BB_{1}C_{1}M}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}sh=\frac{1}{4}sh=\frac{1}{2}V.
Следовательно, плоскость BA_{1}M
разбивает призму ABCA_{1}B_{1}C_{1}
на две равновеликие части.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.5, с. 72