9342. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
с основаниями ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, P
— точка пересечения прямой CB_{1}
с плоскостью AA_{1}F_{1}F
.
а) Докажите, что B_{1}
— середина отрезка CP
.
б) Найдите угол между прямыми BA_{1}
и CB_{1}
, если боковое ребро призмы вдвое больше стороны основания.
Ответ. \arccos0{,}9
.
Решение. а) Пусть прямые BC
и AF
пересекаются в точке M
, а прямые B_{1}C_{1}
и A_{1}F_{1}
— в точке N
. Тогда M
и N
— общие точки плоскостей BB_{1}C_{1}C
и AA_{1}F_{1}F
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой MN
, причём MN\parallel BB_{1}
, так как MN
— прямая пересечения плоскостей, проходящих через параллельные прямые BB_{1}
и AA_{1}
(см. задачу 8004).
Следовательно, точка пересечения прямых CB_{1}
и MN
есть точка пересечения прямой CB_{1}
с плоскостью AA_{1}F_{1}F
.
Треугольники AMB
и A_{1}NB_{1}
равносторонние, поэтому BM=BC
и B_{1}N=B_{1}C_{1}
. Значит, CM=2BC=2B_{1}N
, а так как B_{1}N\parallel CM
, то B_{1}N
— средняя линия треугольника CPM
. Следовательно, B_{1}
— середина отрезка CP
.
б) Пусть O
— центр правильного шестиугольника A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
. Противоположные стороны A_{1}O
и BC
четырёхугольника BCOA_{1}
равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Следовательно, BA_{1}=CO
и BA_{1}\parallel CO
, а угол между скрещивающимися прямыми BA_{1}
и CB_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми CB_{1}
и CO
, т. е. углу OCB_{1}
.
Положим AB=a
, AA_{1}=2a
. Тогда CO=CB=a\sqrt{5}
. По теореме косинусов
\cos\angle OCB_{1}=\frac{CB_{1}^{2}+CO^{2}-OB_{1}^{2}}{2CB_{1}\cdot CO}=\frac{5a^{2}+5a^{2}-a^{2}}{2\cdot a\sqrt{5}\cdot a\sqrt{5}}=0{,}9.
Следовательно, \angle OCB_{1}=\arccos0{,}9
.