9344. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
, точки M
и N
— середины рёбер SD
и BC
.
а) Докажите, что плоскость AMN
делит ребро SC
в отношении 1:2
, считая от точки C
.
б) Найдите объём меньшей из частей, на которые плоскость AMN
разбивает пирамиду SABCD
, если объём пирамиды SABCD
равен V
.
Ответ. \frac{7}{12}V
.
Решение. а) Пусть прямые AN
и CD
, лежащие в плоскости ABCD
, пересекаются в точке P
, а прямые MP
и SC
, лежащие в плоскости CSD
, — в точке K
. Тогда K
— точка пересечения плоскости AMN
с ребром SC
.
Из равенства треугольников PCN
и ABN
следует, что CP=AB=CD
, значит, C
— середина отрезка DP
. Тогда K
— точка пересечения медиан SC
и PM
треугольника DSP
, следовательно, CK:KS=1:2
.
б) Рассмотрим треугольную пирамиду MADP
. Площадь её основания ADP
равна площади основания ABCD
данной пирамиды, а высота, опущенная из вершины M
, вдвое меньше высоты данной пирамиды (см. задачу 9180), значит, V_{MADP}=\frac{1}{2}V
. Площадь основания CPN
треугольной пирамиды KCPN
в четыре раза меньше площади ABCD
, а высота, опущенная на плоскость основания CPN
, втрое меньше высоты пирамиды SABCD
, значит,
V_{KCPN}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{12}V.
Тогда объём части пирамиды SABCD
, содержащей точку D
, равен
V_{MADP}-V_{KCPN}=\frac{1}{2}V-\frac{1}{12}V=\frac{5}{12}V\lt\frac{1}{2}V.
Следовательно, объём большей части равен \frac{7}{12}V
.