9352. Шар вписан в прямую четырёхугольную призму.
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.
Ответ. \frac{\pi}{6}
.
Решение. а) Пусть радиус шара равен R
. Ортогональная проекция призмы и шара на плоскость основания призмы — четырёхугольник основания призмы и вписанная в него окружность радиуса R
. Суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны, т. е. a+c=b+d
. Боковая грань призмы — прямоугольник, одна сторона которого совпадает со стороной основания, а соседняя сторона равна 2R
. Суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны, так как 2Ra+2Rc=2Rb+2Rd
.
б) Пусть объём шара равен V_{1}
, объём призмы равен V_{2}
, периметр основания равен P
, а площадь основания равна S
. Тогда (см. задачу 523)
S=\frac{1}{2}PR=\frac{1}{2}\cdot8R\cdot R=4R^{2},~V_{2}=S\cdot2R=8R^{3},~V_{1}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^{3}}{8R^{3}}=\frac{\pi}{6}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5, с. 110