9381. Правильный тетраэдр с ребром 1 повернули на 90^{\circ}
относительно прямой, проходящей через середины противоположных рёбер. Найдите объём общей части нового и исходного тетраэдра.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{24}
.
Решение. Достроим данный тетраэдр ACB_{1}D_{1}
до параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, проведя через противоположные ребра тетраэдра три пары параллельных плоскостей (см. рис.). Получим куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром \frac{\sqrt{2}}{2}
. Прямая, проходящая через центры двух противоположных граней куба, например, ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}
, и есть прямая, проходящая через середины двух противоположных рёбер AC
и B_{1}D_{1}
тетраэдра ACB_{1}D_{1}
. При повороте на угол 90^{\circ}
относительно этой прямой данный тетраэдр ACB_{1}D_{1}
переходит в правильный тетраэдр BDC_{1}A_{1}
. Пересечение тетраэдров ACB_{1}D_{1}
и BDC_{1}A_{1}
— правильный октаэдр с вершинами в центрах граней куба. Объём этого октаэдра равен шестой части объёма куба (см. задачу 8574), т. е. \frac{1}{6}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}=\frac{\sqrt{2}}{24}
.