9389. Сторона основания ABC
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна 30, боковое ребро равно 20. Найдите расстояние между прямыми BA_{1}
и CB_{1}
.
Ответ. 12.
Решение. Через вершину B_{1}
проведём прямую, параллельную BA_{1}
. Пусть K
— точка пересечения проведённой прямой с прямой AB
. Тогда BA_{1}B_{1}K
— параллелограмм, поэтому KB_{1}\parallel BA_{1}
и KB_{1}=BA_{1}=CB_{1}
. Поскольку прямая BA_{1}
параллельна плоскости KB_{1}C
, расстояние между прямыми BA_{1}
и CB_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой BA_{1}
до плоскости KB_{1}C
(см. задачу 7889). Найдём расстояние от точки B
до этой плоскости.
Пусть B_{1}M
— высота равнобедренного треугольника KB_{1}C
. Тогда BM
— высота равнобедренного треугольника KBC
, значит, высота BH
прямоугольного треугольника MBB_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым B_{1}M
и KC
плоскости KB_{1}C
. Значит, BH
— перпендикуляр к этой плоскости.
Отрезок BM
— средняя линия треугольника AKC
, поэтому BM=\frac{1}{2}AC=15
. По теореме Пифагора
MB_{1}=\sqrt{BM^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{15^{2}+20^{2}}=25.
Следовательно,
BH=\frac{BM\cdot BB_{1}}{MB_{1}}=\frac{15\cdot20}{25}=12.