9391. Основание прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадрат ABCD
со стороной 6\sqrt{2}
. Боковое ребро призмы равно 5. Найдите расстояние между прямыми AC
и BD_{1}
.
Ответ. \frac{30}{13}
.
Решение. Опустим перпендикуляр OH
из центра O
квадрата ABCD
на прямую BD_{1}
. Прямая AC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD
и DD_{1}
плоскости BDD_{1}
, значит, прямая AC
перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, прямая AC
перпендикулярна OH
, и поэтому OH
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC
и BD_{1}
.
Пусть DP
— высота прямоугольного треугольника BDD_{1}
с катетами
DD_{1}=5,~BD=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=12
и гипотенузой
BD_{1}=\sqrt{DD_{1}^{2}+BD^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.
Тогда (см. задачу 1967)
DP=\frac{DD_{1}\cdot BD}{BD_{1}}=\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13},
а так как OH
— средняя линия треугольника PBD
, то
OH=\frac{1}{2}DP=\frac{30}{13}.