9407. Три ребра параллелепипеда лежат на скрещивающихся диагоналях боковых граней треугольной призмы. Найдите отношение объёмов параллелепипеда и призмы.
Ответ. 2:9
.
Решение. Пусть ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— данная треугольная призма (AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}
). Построим параллелепипед, три ребра которого лежат на прямых AB_{1}
, BC_{1}
и CA_{1}
.
Для этого достроим основания призмы до параллелограммов ABCP
и A_{1}B_{1}C_{1}N
. Тогда диагональ CA_{1}
параллелепипеда ABCPA_{1}B_{1}C_{1}N
с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и PN
проходит через точки L
и K
пересечения медиан треугольников ANB_{1}
и BPC_{1}
соответственно и делится плоскостями ANB_{1}
и BPC_{1}
на три равные части (см. задачу 7212). Плоскость ANB_{1}
проходит через прямую AB_{1}
параллельно прямой PC_{1}
, а плоскость BPC_{1}
проходит через прямую BC_{1}
параллельно прямой AN
. Следовательно, в этих плоскостях лежат две противоположные грани параллелепипеда, о котором говорится в условии задачи. Аналогично строятся ещё две пары параллельных плоскостей, содержащих противоположные грани этого параллелепипеда. Три построенные пары плоскостей однозначно задают параллелепипед. При этом точки, делящие отрезки AB_{1}
, BC_{1}
и CA_{1}
на три равные части, есть шесть вершин параллелепипеда (две остальные его вершины лежат на диагоналях BP
и NB_{1}
параллелограммов ABCP
и A_{1}B_{1}C_{1}N
и делят эти диагонали в отношении 2:1
, считая от N
и P
соответственно).
Пусть V
— объём этого параллелепипеда. Тогда объём параллелепипеда, три ребра которого равны и параллельны AB_{1}
, BC_{1}
и CA_{1}
, равен 27V
(подобие с коэффициентом 3).
На продолжении ребра AC
за точку C
отложим отрезок CM=AC
. Тогда боковые рёбра C_{1}P
и C_{1}M
треугольной пирамиды BMPC_{1}
с вершиной C_{1}
равны и параллельны отрезкам соответственно AB_{1}
и CA_{1}
, площадь её основания составляет \frac{3}{2}
площади параллелограмма ABCP
, а высота равна высоте параллелепипеда ABCPA_{1}B_{1}C_{1}N
. Значит, пирамида равновелика исходной призме (её объём равен \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{2}
объёма параллелепипеда ABCPA_{1}B_{1}C_{1}N
, т. е. объёму призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
).
С другой стороны, объём пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда, три ребра которого равны и параллельны отрезкам AB_{1}
, BC_{1}
и CA_{1}
, т. е. равен \frac{1}{6}\cdot27V=\frac{9}{2}V
. Следовательно, исходное отношение равно \frac{2}{9}
.
Примечание. Построить ребро XY
указанного параллелепипеда так, чтобы вершина X
лежала на прямой AB_{1}
, вершина Y
— на прямой BC_{1}
, а XY\parallel CA_{1}
, можно и так. Отметим середину T
ребра BB_{1}
призмы. Пусть X
— точка пересечения A_{1}T
и AB_{1}
, а Y
— точка пересечения CT
и BC_{1}
. Тогда
\frac{AX}{XB_{1}}=\frac{TX}{XA_{1}}=\frac{TB_{1}}{AA_{1}}=\frac{1}{2},~\frac{BY}{YC_{1}=}=\frac{TY}{YC}=\frac{TB}{CC_{1}}=\frac{1}{2},
значит, XY\parallel CA_{1}
, \frac{XY}{CA_{1}}=\frac{1}{3}
.
Заметим, что отрезок XY
с концами на скрещивающихся прямых AB_{1}
и BC_{1}
, параллельный CA_{1}
, единственный, так как если бы отрезок X'Y'
удовлетворял тем же условиям, то он был бы параллелен XY
, а тогда точки X
, Y
, X'
и Y'
лежали бы в одной плоскости, что невозможно (тогда прямые AB_{1}
и BC_{1}
также лежали бы в этой плоскости).