9411. Дана пирамида
ABCD
с плоскими прямыми углами при вершине
D
, в которой
CD=AD+DB
. Докажите, что сумма плоских углов при вершине
C
равна
90^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Обозначим
\angle ACD=\alpha,~\angle BCD=\beta,~\angle ACB=\gamma,~AD=a,~BD=b,~AC=m,~BC=n

(рис. 1). Надо доказать, что
\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}
.
Заметим, что все плоские углы при вершине
C
острые. Действительно,
ACB
— наименьший угол в прямоугольном треугольнике
ACD
, так как
AD\lt AC
и
AD=a\lt a+b=CD
. Значит,
\alpha\lt45^{\circ}
. Аналогично
\beta\lt45^{\circ}
, а
\gamma\lt\alpha+\beta\lt90^{\circ}
(см. задачу 7428).
Из теоремы косинусов получаем, что
\cos\gamma=\frac{m^{2}+n^{2}-a^{2}-b^{2}}{2mn}=\frac{a^{2}+(a+b)^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2mn}=

=\frac{2(a+b)^{2}}{2mn}=\frac{(a+b)^{2}}{mn}.

Тогда
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{a}{m}\cdot\frac{a+b}{n}+\frac{a+b}{m}\cdot\frac{b}{n}=

=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{mn}=\frac{(a+b)^{2}}{mn}=\cos\gamma,

а так как
\alpha+\beta\lt90^{\circ}
и
\gamma\lt90^{\circ}
, то
\gamma=90^{\circ}-\alpha-\beta
. Следовательно,
\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}
.
Заметим, что
BD
— перпендикуляр к плоскости
ACD
,
BC
— наклонная к этой плоскости,
CD
— её ортогональная проекция,
\beta
— угол наклонной с плоскостью. Тогда (см. задачу 7427)
\cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta=\frac{a+b}{m}\cdot\frac{a+b}{n}=\frac{(a+b)^{2}}{mn}
.
Второй способ. Заметим, что при фиксированных длинах рёбер
DA
и
DB
существует единственная пирамида
ABCD
, удовлетворяющая условию задачи.
Рассмотрим квадрат
CD_{2}TD_{1}
со стороной
a+b
(рис. 2). На его сторонах
TD_{1}
и
TD_{2}
отложим отрезки
TA+b
и
TB=a
. Тогда пятиугольник
ABD_{2}CD_{1}
является развёрткой боковой поверхности данной пирамиды, а треугольник
ATB
равен треугольнику
ADB
её основания. Таким образом, выполняются все условия задачи. Следовательно,
\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2016-2017, XLIII, окружной этап, 11 класс
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.21, с. 102
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.24, с. 111
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 189, с. 28