9414. Дана треугольная пирамида, у которой все плоские углы при одной из вершины прямые. Известно, что существует точка в пространстве, удалённая на расстояние 3 от этой вершины и на расстояния \sqrt{5}
, \sqrt{6}
и \sqrt{7}
от трёх других вершин. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Достроим данный тетраэдр до прямоугольного параллелепипеда так, чтобы попарно перпендикулярные рёбра тетраэдра были рёбрами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Пусть M
— данная точка. Рассмотрим три грани параллелепипеда, содержащие прямоугольные грани тетраэдра. Для каждой из них мы знаем расстояния от точки M
до трёх вершин, значит, можем найти расстояние до четвёртой (см. задачу 2169). Квадраты этих расстояний равны числам 5+6-9=2
, 6+7-9=4
и 7+5-9=3
. Теперь, проведя соответствующее диагональное сечение параллелепипеда, мы можем найти расстояние от точки M
до оставшейся восьмой вершины параллелепипеда, противоположной вершине, плоские углы при которой — прямые. Это расстояние оказывается равным 0 (2+3-5=0
, или 3+4-7=0
, или 2+4-6=0
). Это означает, что точка M
совпадает с указанной вершиной параллелепипеда. Тогда диагональ параллелепипеда равна 3. Следовательно, радиус сферы, описанной около параллелепипеда, а значит, и около тетраэдра, равен половине диагонали, т. е. \frac{3}{2}
.